Prestižní Cena profesora Babušky putuje na naši univerzitu

Jiří Kopal zabodoval za naši univerzitu

První cenu v 22. ročníku Ceny profesora Babušky dnes převzal v Praze v Ústavu termomechaniky AV ČR Jiří Kopal z Ústavu nových technologií a aplikované informatiky FM TUL. Získal ji za svoji disertační práci Generalized Gram-Schmidt Process: Its Analysis and Use in Preconditioning. Soutěž vyhlašuje Česká společnost pro mechaniku ve spolupráci s Jednotou českých matematiků a fyziků. Letos poprvé putuje tato cena na libereckou univerzitu.

Zabýval jsem se studiem zobecněného Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu, tj. Gram-Schmidtova procesu, kde je skalární součin indukován symetrickou pozitivně definitní maticí. Algoritmus je zajímavý tím, že při vhodné volbě počáteční báze vektorů generuje jak Choleského faktor dané symetrické pozitivně definitní matice, tak i jeho inverzi. Zaměřil jsem se na studium chování algoritmu v aritmetice s konečnou přesností, tedy situaci kdy výpočet probíhá na počítači. V práci je možno nalézt k jak velkým chybám v maticových dekompozicích může při výpočtu v aritmetice s konečnou přesností docházet pro jednotlivé implementace algoritmu (modifikovaná verze, klasická verze, AINV). Důraz je kladen zejména na situaci, kdy v algoritmu pivotujeme, tj. nějakým definovaným způsobem podle průběžných veličin ve výpočtu přehazujeme pořadí příslušným způsobem ortogonalizovaných vektorů. Podařilo se mi dokázat, že z teoretického hlediska pivotace jistý význam má, to potvrdily i experimenty. Hlavní náplň práce byla zkonstruovat tzv. nekompletní verzi algoritmu, který by měl vést na řídké matice (které dobře aproximují původní identity platné pro výpočet v aritmetice s konečnou přesností) pro předpodmínění metody sdružených gradientů, což je nejefektivnější známá iterační metoda pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic se symetrickou pozitivně definitní maticí. Nekompletní algoritmy fungují tak, že v průběhu výpočtu odvrhují (pokládají rovné nule) spočtené prvky (matic, vektorů), které jsou v nějakém smyslu malé. V drtivé většině případů se tato odvrhovací pravidla konstruují heuristicky, takové algoritmy pak často nemusí fungovat úplně efektivně nebo také nemusí fungovat vůbec. Zanedbáme-li v průběhu výpočtu důležitý prvek (který považujeme za malý), šíření chyby v rekurencích algoritmů může takto spočtené matice dokonale znehodnotit. V práci lze nalézt odvrhovací techniku založenou na teoretickém chování algoritmu v aritmetice s konečnou přesností, která spolu s pivotací vykazuje velice dobré výsledky. Kromě teoretického rozboru, důkazů a odvození je v práci prezentován nový algoritmus kombinující prvky modifikované i klasické verze zobecněného Gram-Schmidtova procesu a Choleského faktorizace, díky kterému může být relativně složitá dekompozice počítána velice rychle,“přibližuje svoji práci Jiří Kopal.

Prof. Ing. Dr. Ivo Babuška DrSc. (*1926) je česko-americký matematik a stavební inženýr. Proslavil se aplikovanou numerickou matematikou. V roce 1968 odjel legálně na roční vědecký pobyt do USA, kde již zůstal s celou rodinou v emigraci. Po mnoho let pak pracoval na University of Maryland, College Park. Ve Spojených státech pokračoval intenzivně v aplikacích metody konečných prvků do praxe, a zůstal jim věrný dodnes. Od roku 1990, jezdí opět do Prahy pravidelně. Dosud působí v Institute for Computational Engineering and Sciences, University of Texas, Austin.Badatelské zaměření Iva Babušky se týká především aposteriorních odhadů chyby přibližného řešení a s tím spojené adaptivní metody konečných prvků, zasloužil se o rozvoj mechaniky kontinua. Vychoval desítky doktorandů, z nichž mnoho se už také proslavilo ve výpočtové matematice v USA nebo v Evropě. Publikoval více než 300 vědeckých publikací z oblasti matematiky, čísel a mechaniky. Za přínos v oblasti mechaniky byl odměněn Humboldtovou cenou, udělovanou na Humboldtově univerzitě v SRN. Získal několik čestných doktorátů z různých univerzit světa.

V roce 1994 založil nadaci - cenu pro mladé vědecké pracovníky v oboru počítačových věd, tj. v oboru počítačová mechanika, počítačová analýza a numerická matematika. Česká společnost pro mechaniku společně s Jednotou českých matematiků a fyziků tuto cenu, která dnes nese Babuškovo jméno, s přispěním jeho vlastních prostředků, uděluje každoročně.

J. Kočárková
Foto: Radek Pirkl